Question

11．设数列{a_n}的前n项和${S_n}={2^{n+2}}-4$，数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{{nlo{g_2}\;{a_n}}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）求得${b}_{n}=\frac{1}{n{log}_{2}{2}^{n+1}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，${a}_{1}={S}_{1}={2}^{3}-4=4$．
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n+2}-{2}^{n+1}={2}^{n+1}（对n=1也成立）$，
故所求${a}_{n}={2}^{n+1}（n∈{N}^{*}）$；
（2）由${b}_{n}=\frac{1}{n{log}_{2}{2}^{n+1}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．