题目内容

15．函数f（x）=x3+ax2+（a-3）x（a∈R）的导函数是f'（x），若f'（x）是偶函数，则以下结论正确的是（　　）
A．y=f（x）的图象关于y轴对称B．y=f（x）的极小值为-2
C．y=f（x）的极大值为-2D．y=f（x）在（0，2）上是增函数

分析 先求出函数的导数，再利用偶函数的性质f（-x）=f（x）建立等式关系，解之即可．

解答 解：对f（x）=x3+ax2+（a-3）x求导，
得f′（x）=3x2+2ax+a-3，
又f′（x）是偶函数，即f′（x）=f′（-x），
即3x2+2ax+a-3=3x2-2ax+a-3，
化简得a=0，
∴f′（x）=3x2-3，
令f′（x）=0，即3x2-3=0，∴x=±1
令f′（x）＞0得函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
令f′（x）＜0得函数的单调减区间为（-1，1）
∴函数在x=1时取得极小值为：-2，极大值为2
故选：B．

点评 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间与极值，解题的关键是利用函数的性质求出函数的解析式．

练习册系列答案
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