Question

10．（1）三个方程：x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0中至多有二个方程有实根，求实数a的取值范围．
（2）已知虚数z在复平面上对应点Z，若z+$\frac{1}{z}$∈R，求点Z的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）先求三个方程均有实根的情况$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}=16{a}^{2}-4（3-4a）≥0}\\{{△}_{2}=（a-1）^{2}-4{a}^{2}≥0}\\{{△}_{3}=（2a）^{2}+8a≥0}\end{array}\right.$，解得a的范围，进而得出．
（2）令z=x+yi（y≠0），设Z（x，y），z+$\frac{1}{z}$=x+yi+$\frac{1}{x+yi}$=x+$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$（y-\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}）$i∈R．可得$y-\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=0．

解答 解：（1）先求三个方程均有实根的情况$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}=16{a}^{2}-4（3-4a）≥0}\\{{△}_{2}=（a-1）^{2}-4{a}^{2}≥0}\\{{△}_{3}=（2a）^{2}+8a≥0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a≤-\frac{3}{2}或a≥\frac{1}{2}}\\{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{a≤-2或a≥0}\end{array}\right.$，
则解集为∅，
故所求a的取值范围是a∈R．
（2）令z=x+yi（y≠0），
设Z（x，y），z+$\frac{1}{z}$=x+yi+$\frac{1}{x+yi}$=x+$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$（y-\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}）$i∈R．
∴$y-\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=0，可得x²+y²=1，y≠0，
Z的轨迹方程为x²+y²=1，y≠0．

点评 本题考查了复数的运算法则、反证法、复数为实数的充要条件、一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．