Question

7．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点到右焦点的距离为$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为1的直线l经过椭圆上顶点，并与椭圆交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a，c的方程组，求解可得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由已知可得直线l的方程，与椭圆方程联立，可得B的坐标，由|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{A}-{x}_{B}|$求得答案．

解答 解：（1）设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距为c，
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\{a-c=\sqrt{3}-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$．
∴b²=a²-c²=1．
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）如图，椭圆C的上顶点A（0，1），
则直线l的方程y=x+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²+3x=0．
解得：${x}_{A}=0，{x}_{B}=-\frac{3}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{A}-{x}_{B}|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，明确椭圆上的点中，左顶点到右焦点的距离最大，右顶点到右焦点的距离最小是关键，是中档题．