Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{3}$）（A＞0，ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若角α满足f（α）+$\sqrt{3}$f（α-$\frac{π}{2}$）=1，α∈（0，π），求α值．

Answer 1

分析 （1）由条件可求周期，利用周期公式可求ω=1，由f（x）的图象经过点（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可求Asin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
解得A=1，即可得解函数解析式．
（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin$α=\frac{1}{2}$．结合范围α∈（0，π），即可得解α的值．

解答 解：（1）由条件，周期T=2π，即$\frac{2π}{ω}$=2π，所以ω=1，即f（x）=Asin（x+$\frac{π}{3}$）．
因为f（x）的图象经过点（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），所以Asin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴A=1，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由f（α）+$\sqrt{3}$f（α-$\frac{π}{2}$）=1，得sin（α+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin（α-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=1，
即sin（α+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（α+$\frac{π}{3}$）=1，可得：2sin[（$α+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=1，即sin$α=\frac{1}{2}$．
因为α∈（0，π），解得：α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数恒等变换的应用及正弦函数的图象和性质，属于基础题．