Question

5．漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒赚1.7元；如果当天未能按量完成任务，则按实际完成的雕刻量领取当天工资．
（I）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得如表：

雕刻量n	210	230	250	270	300
频数	1	2	3	3	1

以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．
（ⅰ）求该雕刻师这10天的平均收入；
（ⅱ）求该雕刻师当天收入不低于300元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥250时，f（n）=250×1.2+1.7×（n-250），当n＜250时，f（n）=1.2n，由此能求出雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）（i）由题意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值为252，276，300，334，385，分别求出相应的概率，由此能求出该雕刻师这10天的平均收入．
（ii）由X的分布列知该雕刻师当天收入不低于300元的概率：P=P（X=300）+P（X=334）+P（X=385），由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）当n≥250时，f（n）=250×1.2+1.7×（n-250）=1.7n-125，
当n＜250时，f（n）=1.2n，
∴雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式：
f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{1.7n-125，n≥250}\\{1.2n，n＜250}\end{array}\right.$，（n∈N）．
（Ⅱ）（i）由题意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，
∴X的可能取值为252，276，300，334，385，
P（X=252）=0.1，P（X=276）=0.2，P（X=300）=0.3，
P（X=334）=0.3，P（X=385）=0.1，
∴X的分布列为：

X	252	276	300	334	385
P	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

E（X）=252×0.1+276×0.2+300×0.3+334×0.3+385×0.1=338（元），
∴该雕刻师这10天的平均收入为338元．
（ii）由X的分布列知：
该雕刻师当天收入不低于300元的概率：
P=P（X=300）+P（X=334）+P（X=385）
=0.3+0.3+0.1=0.7．

点评 本题考查函数解析式的求法，考查离散型随机的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．