Question

17．已知函数f（x）=alnx-bx³，a，b为实数，b≠0，e为自然对数的底数，e=2.71828．
（1）当a＜0，b=-1时，设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值；
（2）若关于x的方程f（x）=0在区间（1，e]上有两个不同的实数解，求$\frac{a}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出g（a）的最大值即可；
（2）问题转化为函数y₁=$\frac{a}{b}$的图象与函数m（x）=$\frac{{x}^{3}}{lnx}$的图象有2个不同的交点，根据函数的单调性求出$\frac{a}{b}$的范围即可．

解答 解：（1）b=-1时，f（x）=alnx+x³，则f′（x）=$\frac{a+{3x}^{3}}{x}$，
令f′（x）=0，解得：x=$\root{3}{-\frac{a}{3}}$，∵a＜0，∴$\root{3}{-\frac{a}{3}}$＞0，
x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（0，$\root{3}{-\frac{a}{3}}$）	$\root{3}{-\frac{a}{3}}$	（$\root{3}{-\frac{a}{3}}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

故g（a）=f（$\root{3}{-\frac{a}{3}}$）=$\frac{a}{3}$ln（-$\frac{a}{3}$）-$\frac{a}{3}$，
令t（x）=-xlnx+x，则t′（x）=-lnx，令t′（x）=0，解得：x=1，
且x=1时，t（x）有最大值1，
故g（a）的最大值是1，此时a=-3；
（2）由题意得：方程alnx-bx³=0在区间（1，e]上有2个不同的实数根，
故$\frac{a}{b}$=$\frac{{x}^{3}}{lnx}$在区间（1，e]上有2个不同是实数根，
即函数y₁=$\frac{a}{b}$的图象与函数m（x）=$\frac{{x}^{3}}{lnx}$的图象有2个不同的交点，
∵m′（x）=$\frac{{x}^{2}（3lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，令m′（x）=0，得：x=$\root{3}{e}$，
x，m′（x），m（x）的变化如下：

x	（1，$\root{3}{e}$）	$\root{3}{e}$	（$\root{3}{e}$，e]
m′（x）	-	0	+
m（x）	递减	3e	递增

∴x∈（1，$\root{3}{e}$）时，m（x）∈（3e，+∞），x∈（$\root{3}{e}$，e]时，m（x）∈（3e，e³]，
故a，b满足的关系式是3e＜$\frac{a}{b}$≤e³，
即$\frac{a}{b}$的范围是（3e，e³]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．