Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若tan B=$\frac{3}{4}$，$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$的值为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由等比数列的性质可得b²=ac，由正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，由tan B=$\frac{3}{4}$，利用同角三角函数基本关系式可得cosB，sinB的值，化简所求即可计算得解．

解答 解：∵a，b，c成等比数列，可得：b²=ac，
∴由正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，
又∵tan B=$\frac{3}{4}$，可得B∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{4}{5}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$
∴$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosAsinC+sinAcosC}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}=\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{5}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了等比数列的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．