题目内容
4．已知对于任意的x∈（-∞，1）∪（5，+∞），都有x2-2（a-2）x+a＞0，则实数a的取值范围是（1，5]．分析 对△进行讨论，利用二次函数的性质列不等式解出．
解答 解：△=4（a-2）2-4a=4a2-20a+16=4（a-1）（a-4）．
（1）若△＜0，即1＜a＜4时，x2-2（a-2）x+a＞0在R上恒成立，符合题意；
（2）若△=0，即a=1或a=4时，方程x2-2（a-2）x+a＞0的解为x≠a-2，
显然当a=1时，不符合题意，当a=4时，符合题意；
（3）当△＞0，即a＜1或a＞4时，∵x2-2（a-2）x+a＞0在（-∞，1）∪（5，+∞）恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2（a-2）+a≥0}\\{25-10（a-2）+a≥0}\\{1＜a-2＜5}\end{array}\right.$，解得3＜a≤5，
又a＜1或a＞4，∴4＜a≤5．
综上，a的范围是（1，5]．
故答案为（1，5]．
点评 本题考查了二次函数与二次不等式的关系，二次函数的性质，属于中档题．
练习册系列答案
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15．
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斐波那契数列{an}满足：${a_1}=1，{a_2}=1，{a_n}={a_{n-1}}+{a_{n-2}}（{n≥3，n∈{N^*}}）$．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn，则下列结论错误的是（ ）| A． | ${S_{n+1}}=a_{n+1}^2+{a_{n+1}}•{a_n}$ | B． | a1+a2+a3+…+an=an+2-1 | ||
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如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D-ABC1的体积为$\frac{1}{3}$．