Question

16．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）=2g（x）+$\frac{x-4}{{x}^{2}+1}$，若f（$\frac{1}{sinθ}$）+f（cos2θ）＜f（π）-f（$\frac{1}{π}$），则θ的取值范围是（　　）

• A． （2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$），k∈Z
• B． （2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+$\frac{7}{6}$π），k∈Z
• C． （2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ-$\frac{π}{6}$），k∈Z
• D． （2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ-π）∪（2kπ-π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+$\frac{π}{6}$），k∈Z

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，确定f（x）=f（$\frac{1}{x}$），函数f（x）在（-1，1）上单调递增，（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减，不等式转化为sinθ＜-cos2θ，即可得出结论．

解答 解：由题意，-f（x）=2g（x）+$\frac{-x-4}{{x}^{2}+1}$，f（x）=2g（x）+$\frac{x-4}{{x}^{2}+1}$，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
又f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增，（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减
∵f（$\frac{1}{sinθ}$）+f（cos2θ）＜f（π）-f（$\frac{1}{π}$），
∴f（$\frac{1}{sinθ}$）+f（cos2θ）＜0，
∴f（sinθ）＜f（-cos2θ），且sinθ≠0
∴sinθ＜-cos2θ，且sinθ≠0
∴2sin²θ-sinθ-1＞0，且sinθ≠0
∴sinθ＜-$\frac{1}{2}$，且sinθ≠0，
∴θ∈（2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ-$\frac{π}{6}$），k∈Z，
故选C．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．