Question

18．己知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+2a₂=5，4a₃²=a₂a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列的公比为q＞0，运用等比数列的通项公式，结合条件可得首项和公比的方程组，解方程即可得到所求通项公式；
（2）运用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求通项公式；
（3）求得c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（1+{2}^{n-1}）（1+{2}^{n}）}$=$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）等比数列{a_n}的各项均为正数，且公比q＞0，
a₁+2a₂=5，4a₃²=a₂a₆，可得a₁+2a₁q=5，4（a₁q²）²=a₁²q⁶，
解得a₁=1，q=2，
则a_n=a₁q^n-1=2^n-1，n∈N*；
（2）数列{b_n}满足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n，
可得b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
则b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=2+1+2+…+2^n-2
=2+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1+1，n∈N*；
（3）c_n=$\frac{a_n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（1+{2}^{n-1}）（1+{2}^{n}）}$=$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$，
则数列{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{1+{2}^{0}}$-$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2}$-$\frac{1}{1+{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想，以及数列恒等式的运用，考查裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．