Question

已知n∈N^*，数列{a_n}的首项a₁=1，函数f（x）=

1

3

x3-(an+n+3)x2+2(2n+6)anx，若x=a_n+1是f（x）的极小值点，则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A、a_n=

  1，n=1 2n+4，n≥2

• B、an=2n-1
• C、an=

  1    n=1 2n   n≥2

• D、an=

  1    n=1 2n+1  n≥2

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法,利用导数研究函数的极值

专题：等差数列与等比数列

分析：f'（x）=x²-2（a_n+n+3）x+2（2n+6）a_n=（x-2a_n）[x-（2n+6）]，当2a_n＜2n+6时，极小值点为a_n+1=2n+6；当2a_n＞2n+6时，极小值点为a_n+1=2a_n，比较2a_n与2n+6的大小即可得出．

解答： 解：f'（x）=x²-2（a_n+n+3）x+2（2n+6）a_n=（x-2a_n）[x-（2n+6）]
当2a_n＜2n+6时，极小值点为a_n+1=2n+6
当2a_n＞2n+6时，极小值点为a_n+1=2a_n
比较2a_n与2n+6的大小：
当n=1时2n+6=8＞2a₁=2，∴a2=8=23；
当n=2时2n+6=10＜2a₂=16，∴a3=2a2=24；
当n=3时2n+6=12＜2a₃=32，∴a4=2a3=25；
用数学归纳法可证明：当n≥2时，2a_n＞2n+6．
故an=

1    n=1 2n+1  n≥2

，
故选：D

点评：本题考查函数极值点概念和求法、数列的概念、等差等比数列的判断，以及分类讨论的思想和代数推理的能力，属于中档题．