Question

A、B为x、y轴上两动点，|AB|=10，点M为AB中点，已知点P（10，0），C（6，3），则

1

2

|PM|+|CM|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：直线与圆

分析：点A，B分别为x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=10，点M为线段AB的中点，可得点M的轨迹方程为x²+y²=25．连接OC交⊙M于点M₁，可知：点C到M₁的距离最短．设⊙M与x轴交于点M₀．则|PM₀|最短．猜测：使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值在点M₀与M₁之间，当CM⊥PC时，可使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值，求出即可．

解答： 解：∵点A，B分别为x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=10，点M为线段AB的中点，
∴点M的轨迹方程为x²+y²=25．
连接OC交⊙M于点M₁，可知：点C到M₁的距离最短．
设⊙M与x轴交于点M₀．则|PM₀|最短．
猜测：使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值在点M₀与M₁之间，当CM⊥PC时，可使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值，
k_PC=

3

6-10

=-

3

4

，∴k_CM=

4

3

．
∴直线CM的方程为：y-3=

4

3

(x-6)，化为4x-3y-15=0．
联立

4x-3y-15=0 x2+y2=25

，解得

x= 24 5 y= 7 5

．
∴|PM|=

(10- 24 5 )2+( 7 5 )2

=

29

，|CM|=2．
∴

1

2

|PM|+|CM|=

1

2

29

+2．
故答案为：

1

2

29

+2．

点评：本题考查了圆的性质、两点之间的距离公式、直线与圆相交问题，考查了猜想能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．