Question

已知函数f（x）=ax²-

1

2

x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，且f（x）≥0在x∈R时恒成立．
（1）求a、c的值；
（2）若h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，解不等式f（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由f（1）=0得a+c=

1

2

，再由恒成立得a＞0且△=

1

4

-4ac≤0，从而解得a=c=

1

4

．
（2）由（1）得f（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，从而化不等式为（x-b）（x-

1

2

）＜0，从而讨论解得；
（3）g（x）=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

，假设存在实数m，使函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值-5．从而讨论单调性以确定最小值，从而解得．

解答： 解：（1）由f（1）=0，得a+c=

1

2

，
因为f（x）≥0在R上恒成立，
所以a＞0且△=

1

4

-4ac≤0，
ac≥

1

16

，
即a（

1

2

-a）≥

1

16

，
即（a-

1

4

）²≤0，
所以a=c=

1

4

．
（2）由（1）得f（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
由f（x）+h（x）＜0，得
x²-（b+

1

2

）x+

b

2

＜0，即
（x-b）（x-

1

2

）＜0，
所以，当b＜

1

2

时，原不等式解集为（b，

1

2

）；
当b＞

1

2

时，原不等式解集为（

1

2

，b）；
当b=

1

2

时，原不等式解集为空集．
（3）g（x）=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

，
g（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=2m+1．
假设存在实数m，使函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值-5．
①当2m+1＜m，即m＜-1时，函数g（x）在区间[m，m+2]上是增函数，所以g（m）=-5，
即

1

4

m²-（

1

2

+m）m+

1

4

=-5，解得m=-3或m=

7

3

，
因为m＜-1，所以m=-3；
②当m≤2m+1≤m+2，即-1≤m≤1时，函数g（x）的最小值为g（2m+1）=-5，
即

1

4

（2m+1）²-（

1

2

+m）（2m+1）+

1

4

=-5，
解得m=-

1

2

-

21

2

或m=-

1

2

+

21

2

，均舍去；                                            
③当2m+1＞m+2，即m＞1时，
g（x）在区间[m，m+2]上是减函数，所以g（m+2）=-5，
即

1

4

（m+2）²-（

1

2

+m）（m+2）+

1

4

=-5，
解得m=-1-2

2

或m=-1+2

2

，
因m＞1，所以m=-1+2

2

．
综上，存在实数m，m=-3或m=-1+2

2

时，函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值-5．…（18分）

点评：本题考查了函数的性质应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想．属于中档题．