Question

（本小题12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=

3

，b=

2

，1+2cos（B+C）=0．
（1）求角A，B，C；    
（2）求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）利用三角形内角和用cosA表示cos（B+C）利用已知等式求得cosA的值，进而求得A；利用正弦定理求得sinB，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C．
（2）利用sinC=sin（A+B）利用三角形内角和求得sinC的值，最后根据三角形面积公式求得三角形的面积．

解答： 解∵A+B+C=π，
∴cos（B+C）=-cosA，
∵1+2cos（B+C）=0，
∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

，
在△ABC中，由正弦定理知sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
∵a＞b，
∴A＞B，
∴B=

π

4

，C=π-A-B=

5π

12

（2）由（1）知sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2

2

×

1

2

+

2

2

×

3

2

=

6 + 2

4

∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

3

×

2

×

6 + 2

4

=

3+ 3

4

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换以及诱导公式的应用．