Question

已知函数f（x）=xlnx-x+1，g（x）=x²-2lnx-1，
（Ⅰ）h（x）=4f（x）-g（x），试求 h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥1时，恒有af（x）≤g（x），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的正负性，求函数的单调区间；
（Ⅱ）令构造函数φ（x）=af（x）-g（x），利用导数求出函数的最值，解决恒成立问题，这里要用到二次求导．

解答： （Ⅰ）解：h（x）=4f（x）-g（x）=4xlnx+2lnx-x²-4x+5，
h（x）的定义域为（0，+∞），则h′(x)=4lnx-2x+

2

x

，
记h^″（x）为h′（x）的导函数，则h″(x)=-

2(x-1)2

x2

≤0，
故h′（x）在其定义域（0，+∞）上单调递减，且有h'（1）=0，
则令h'（x）＜0可得x＞1，令h'（x）＞0得0＜x＜1，
故h（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）令φ（x）=af（x）-g（x），则有x≥1时φ（x）≤0．
φ（x）=axlnx+2lnx-ax-x²+a+1，φ′(x)=alnx-2x+

2

x

，
记φ''（x）为φ'（x）的导函数，则φ″(x)=

1

x

(a-2x-

2

x

)，
因为当x≥1时，x+

1

x

≥2，故a-2x-

2

x

≤a-4．
①若a-4≤0，即a≤4，此时φ''（x）≤0，故φ'（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
当x≥1时有φ'（x）≤φ'（1）=0，故φ（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
当x≥1时有φ（x）≤φ（1）=0，故a≤4时，原不等式恒成立；
②若a-4＞0，即a＞4，令φ″(x)=

1

x

(a-2x-

2

x

)＞0可得1≤x＜

a+ a2-16

4

，
故φ'（x）在区间[1，

a+ a2-16

4

)上单调递增，故当1＜x＜

a+ a2-16

4

时，φ'（x）＞φ'（1）=0，
故φ（x）在区间[1，

a+ a2-16

4

)上单调递增，故当1＜x＜

a+ a2-16

4

时，φ（x）＞φ（1）=0，
故a＞4时，原不等式不恒成立．
综上可知a≤4，即a的取值范围为（-∞，4]．

点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间，由恒成立问题求式中参数的范围，运用二次求导数，分类讨论，函数与方程，化归等思想．属于难题．