Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax²-2x+a）的定义域为R；命题q：函数f（x）=lg[（a+1）x²+（a+1）x+1]的值域为R；如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p真则真数大于0恒成立?开口向上；判别式小于0；求出a的范围；命题q真则真数的值域包含所有的正实数?判别式大于等于0求出a的范围；据p且q为假命题?命题p和q有且仅有一个为真．求出a的范围．

解答： 解：若p真，则

a＞0 4-4a2＜0

，解得a＞1；
  若命题q真，则

a+1＞0 (a+1)2-4(a+1)≥0

，解得a≥3；
∵“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
∴p，q中有一个为真一个为假，
∴

a＞1 a＜3

或

a≤1 a≥3

∴a的取值范围是（1，3）．

点评：本题考查解决二次不等式恒成立问题常结合二次函数的图象列出需要满足的条件、复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系．