题目内容
设函数f（x）=lg（|x+3|-|x-7|）
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）当m为何值时，f（x）＜m恒成立？
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）当m为何值时，f（x）＜m恒成立？
考点：绝对值不等式的解法,对数的运算性质
专题：函数的性质及应用
分析：（I）利用对数函数的定义域和绝对值的意义即可得出；
（II）利用绝对值的几何意义即可得出．
（II）利用绝对值的几何意义即可得出．
解答：
解：（I）要使函数f（x）=lg（|x+3|-|x-7|）有意义，
则满足|x-3|-|x-7|＞0，
∴（x-3）2＞（x-7）2，
化为8x＞40，
解得x＞5．
∴函数的定义域为（5，+∞）；
（II）∵|x+3|-|x-7|≤|x+3-（x-7）|=10，
∴f（x）≤lg10=1恒成立，
要使f（x）＜m恒成立，则m≥1．
∴当m≥1时，f（x）＜m恒成立．
则满足|x-3|-|x-7|＞0，
∴（x-3）2＞（x-7）2，
化为8x＞40，
解得x＞5．
∴函数的定义域为（5，+∞）；
（II）∵|x+3|-|x-7|≤|x+3-（x-7）|=10，
∴f（x）≤lg10=1恒成立，
要使f（x）＜m恒成立，则m≥1．
∴当m≥1时，f（x）＜m恒成立．
点评：本题考查了对数函数的定义域和绝对值的几何意义，属于中档题．
练习册系列答案
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