Question

5．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，任意x₁，x₂∈（0，1），x₁＞x₂时，都有f（x₁+1）-f（x₂+1）＞x₁-x₂成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≥15
• B． a＞15
• C． a＜5
• D． a≤5

Answer 1

分析 问题转化为y=f（x+1）-x=aln（x+2）-x²-3x-1在（0，1）上递增，求出函数的导数，问题转化为a≥（x+2）（2x+3）在（0，1）恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：f（x₁+1）-f（x₂+1）＞x₁-x₂成立，
即f（x₁+1）-x₁＞f（x₂+1）-x₂，x₁，x₂∈（0，1）恒成立，
∴y=f（x+1）-x=aln（x+2）-x²-3x-1在（0，1）上递增，
∴y′≥0恒成立即a≥（x+2）（2x+3）在（0，1）恒成立，
∵（x+2）（2x+3）＜15，
∴a≥15，
故选：A．

点评 本题考查导数的应用，函数的恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值．