Question

15．设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，-2），C（4，1）
（Ⅰ）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$，求D点的坐标及|$\overrightarrow{AD}$|；
（Ⅱ）设向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{BC}$，若k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$平行，求实数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出D的坐标，得到$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{CD}$的坐标，结合$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$列式求得D的坐标，得到$\overrightarrow{AD}$，则|$\overrightarrow{AD}$|可求；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}$的坐标得到k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求得k值．

解答 解：（Ⅰ）设D（x，y），
由A（1，3），B（2，-2），C（4，1），
得$\overrightarrow{AB}$=（1，-5），$\overrightarrow{CD}=（x-4，y-1）$，
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x-4=1}\\{y-1=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴D（5，-4）．
∴$\overrightarrow{AD}=（4，-7）$，则|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{{4}^{2}+（-7）^{2}}=\sqrt{65}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，-5），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{BC}$=（2，3），
∴$k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（k-2，-5k-3）$，$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=（7，4）$，
又∵k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$平行，
∴4（k-2）-7（-5k-3）=0，得k=-$\frac{1}{3}$．
∴k的值为-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．