Question

14．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=e^x-2ax．若函数f（x）在R内没有零点，则a的取值范围是a＜$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 作出y=e^x与直线y=2ax的函数图象，令两图象在[0，+∞）上无交点得出a的范围．

解答 解：∵f（x）无零点，且f（x）是偶函数，
∴y=e^x与直线y=2ax在[0，+∞）上无交点，
作出y=e^x与直线y=2ax的函数图象，如图所示：

设直线y=2ax与y=e^x相切，切点为（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{2am=n}\\{{e}^{m}=n}\\{{e}^{m}=2a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=e}\\{a=\frac{e}{2}}\end{array}\right.$，
∴a＜$\frac{e}{2}$．
故答案为：$a＜\frac{e}{2}$．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．