Question

17．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长度分别为a，b，c，已知点O为该三角形的外接圆圆心，点D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点，则OD：OE：OF=（　　）

• A． a：b：c
• B． $\frac{1}{a}：\frac{1}{b}：\frac{1}{c}$
• C． sinA：sinB：sinC
• D． cosA：cosB：cosC

Answer 1

分析 根据点O为该三角形的外接圆圆心，半径为R，利用勾股定理求出OD，OE，OF，即可求出OD：OE：OF的值．

解答 解：由题意，点O为该三角形的外接圆圆心，设半径为R，则OA=OB=OC=R，
∵D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点．
∴OD²=R²-$（\frac{a}{2}）^{2}$，OE²=R²-$（\frac{b}{2}）^{2}$，OF²=R²-$（\frac{c}{2}）^{2}$．
那么OD²：OE²：OF²=（$\frac{{a}^{2}}{4si{n}^{2}A}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$）²：（$\frac{{b}^{2}}{4si{n}^{2}B}$-$\frac{{b}^{2}}{4}$）²：（$\frac{{c}^{2}}{4si{n}^{2}C}$-$\frac{{c}^{2}}{4}$）²
开方化简：OD：OE：OF=$\frac{acosA}{sinA}$：$\frac{bcosB}{sinB}$：$\frac{ccosC}{sinC}$
由正弦定理可得：OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．
故选：D．

点评 本题考查了三角形的外接圆的性质和正弦定理的运用．属于中档题．