Question

16．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=$\frac{1}{2}，{a_n}+{b_n}=1，{b_{n+1}}=\frac{b_n}{{1-{a_n}^2}}$，则b₂₀₁₇=（　　）

• A． $\frac{2017}{2018}$
• B． $\frac{2018}{2017}$
• C． $\frac{2019}{2018}$
• D． $\frac{2018}{2019}$

Answer 1

分析 利用递推公式分别求出数列{a_n}，{b_n}的前4项，由此猜想${b}_{n}=\frac{n}{n+1}$，从而能b₂₀₁₇的值．

解答 解：∵数列{a_n}，{b_n}满足a₁=$\frac{1}{2}，{a_n}+{b_n}=1，{b_{n+1}}=\frac{b_n}{{1-{a_n}^2}}$，
∴b₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
${b}_{2}=\frac{\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$，${a}_{2}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
b₃=$\frac{\frac{2}{3}}{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$，${a}_{3}=1-\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
b₄=$\frac{\frac{3}{4}}{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，a₄=1-$\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，
由此猜想${b}_{n}=\frac{n}{n+1}$，
∴b₂₀₁₇=$\frac{2017}{2018}$．
故选：A．

点评 本题考查数列的第2017项的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．