Question

已知函数f（x）=

log2(1-x)+1，-1≤x＜k x3-3x+2，k≤x≤a

，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[

  3

  ，+∞）
• B、[1，

  3

  ]
• C、（0，

  3

  ]
• D、{2}

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：由于y=log₂（1-x）+1在[-1，k）上是递减函数，再由函数f（x）的值域是[0，2]，得到k的范围，
再由y=x³-3x+2的图象，结合函数的值域[0，2]，从而得到a的取值范围．

解答： 解：由于y=log₂（1-x）+1在[-1，k）上是递减函数，
且x=-1时，y=2，x=

1

2

时，y=0，故-1＜k≤

1

2

，
画出函数f（x）的图象，令x³-3x+2=2，解得x=0，

3

，-

3

（舍去），由于存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，
故a的取值范围是[1，

3

]．
故选B．

点评：本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的单调性和值域，考查数形结合的能力，属于中档题．