Question

已知数列{a_n}，{b_n}，a₁=1，a_n=a_n-1+2^n-1，b_n=

an-1+1

anan+1

，S_n为数列{b_n}的前n项和，T_n为数列{S_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）求证：T_n＞

n

2

-

1

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用叠加法，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）利用放缩法，再结合等比数列的求和公式，即可证明．

解答： （Ⅰ）解：∵a_n=a_n-1+2^n-1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2ⁿ-1               …（5分）
（Ⅱ）解：b_n=

an-1+1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），
∴S_n=

1

2

[（

1

2-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1-1

）=

2n-1

2n+1-1

 …（10分）
（Ⅲ）证明：∵S_n=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

•

1

2k

，
∴T_n≥

n

2

-

1

3

（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）=

n

2

-

1

3

（1-

1

2n

）＞

n

2

-

1

3

．…（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查叠加法，裂项法、放缩法的运用，属于中档题．