Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）作圆（x-c）²+y²=c²的切线，切点为E，且该切线与双曲线的右支交于点A．若

OE

=

1

2

（

OF

+

OA

），则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3 +1

  2

• B、

  3

• C、

  3

  +1
• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：FE是圆F′：（x-c）²+y²=c²的切线，可得F′E⊥EF，利用勾股定理可得EF=

|FF′|2-|EF′|2

=

3

c．由于

OE

=

1

2

（

OF

+

OA

），可得点E是线段AF的中点，于是|AF|=2

3

c，|AF′|=|FF′|=2c．再利用双曲线的定义即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵FE是圆F′：（x-c）²+y²=c²的
切线，
∴F′E⊥EF，
∴EF=

|FF′|2-|EF′|2

=

3

c．
∵

OE

=

1

2

（

OF

+

OA

），
∴点E是线段AF的中点，
∴|AF|=2

3

c，|AF′|=|FF′|=2c．
∵|AF|-|AF′|=2a，
∴2

3

c-2c=2a，
∴

c

a

=

1

3 -1

=

3

+1．
故选：C．

点评：本题考查了双曲线的定义及其性质、直线与圆相切的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力．