Question

已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-

1

2

，当x＞4时，f（x）＞

3

2

，且f（

1

2

）=0．
（1）求f（2）的值；
（2）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得f（1）=f（1）+f（1）-

1

2

，解得f（1）=

1

2

，从而f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-

1

2

，由此能求出f（2）=1．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）-

1

2

=f（

4x2

x1

•4）-

1

2

=f(

4x2

x1

)+f(

1

4

)-1，由此能求出关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2的解．

解答： 解：（1）∵定义在（0，+∞）上函数f（x），
对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-

1

2

，
∴f（1）=f（1）+f（1）-

1

2

，
∴f（1）=

1

2

，
∴f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-

1

2

，
∵f（

1

2

）=0，∴f（2）=1．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）-

1

2

=f（

4x2

x1

•4）-

1

2

=f(

4x2

x1

)+f(

1

4

)-1，
∵f（

1

4

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）-

1

2

，且

4x2

x1

＞4时，f（x）＞

3

2

，
∴f(x2+3x)＞

3

2

=f(4)，
∴

x＞0 x+3＞0 x2+3x＞4

，解得x∈（1，+∞）．

点评：本题考查函数值的求法，考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．