Question

已知向量

a

=（

3

sinx，cosx+sinx），

b

=（2cosx，cosx-sinx），函数f（x）=

a

•

b

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）f（x）=

a

•

b

=2sin（2x+

π

6

），由三角函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小正周期；
（2）f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，从而可求C=

π

3

，再由余弦定理可求出ab≤3，故有△ABC面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

2

ab≤

3

4

×3=

3 3

4

．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

，
=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x
=

3

sin2x+cos2x
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

）
故，函数f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=π．
（2）f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，
sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
2C+

π

6

=

π

6

或

5π

6

，
∵C是内角，
∴C=

π

3

，
余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

得：
ab=a²+b²-3，
∵a²+b²≥2ab，
∴ab+3≥2ab，
ab≤3，
△ABC面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

2

ab≤

3

4

×3=

3 3

4

，
△ABC面积最大值S_max=

3 3

4

．

点评：本题主要考察了平面向量数量积的坐标表示，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，三角形面积公式的综合应用等，属于中档题．