Question

一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{a_k}，（k=1，2，3，…，n）．试求：
（1）a₁，a₂，a₃
（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数是多少个？
（3）求数列{a_k}的前 k项和S_K并证明：S_K＜

1

6

n3．

Answer 1

考点：基本不等式,数列与不等式的综合

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由题意即可得出：a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1，…；
（2）由于在第k站出发时，前面放上的邮袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）个，而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+…+（k-1）个，即可得出a_k；
（3））利用a_k=kn-k²，可得Sk=(n+2n+…+kn)-(12+22+…+k2)，由于a_k＞0，可知：S_k单调递增，即可得出．

解答： 解：（1）由题意得：
a₁=n-1，
a₂=（n-1）+（n-2）-1，
a₃=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2．
（2）在第k站出发时，前面放上的邮袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）个，
而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+…+（k-1）个，
故a_k=（n-1）+（n-2）+…+（n-k）-[1+2+…+（k-1）]
=kn-

1

2

k(k+1)-

1

2

k(k-1)
=kn-k²（k=1，2，…，n）．
即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数kn-k²（k=1，2，…n）个
（3）∵a_k=kn-k²，
∴Sk=(n+2n+…+kn)-(12+22+…+k2)，
∵a_k=k（n-k）＞0，
∴S_k单调递增，
∴Sk≤Sn=

n3-n

6

＜

1

6

n3．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．