Question

以下四个命题：
（1）

1+i

1-i

是集合M={m|m=i²，n∈N^*}（i为虚数单位）中的元素；
（2）p：函数f（x）=a^x-2（a＞0，a≠1）的图象恒过点（0，-2），q：函数f（x）=lg|x|（x≠0）有两个零点，则p∨q是真命题；
（3）函数f（x）=e^-x-e^x切线斜率的最大值为2
（4）?x₀∈{x|x是无理数}，

x

2 0

是无理数，其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：特称命题,复合命题的真假

专题：综合题

分析：（1）化简

1+i

1-i

，判断它是否为集合M中的元素；
（2）判断p或q是否为真命题即可；
（3）求f′（x）的最值，得出函数f（x）切线斜率的最值；
（4）举例说明即可确；

解答： 解：对于（1），

1+i

1-i

=i，∴它不是集合M={m|m=i²，n∈N^*}（i为虚数单位）中的元素，命题错误；
对于（2），p：x=0时，f（0）=-2，函数f（x）图象恒过点（0，-2），是真命题；
q：x=±1时，f（x）=0，∴函数f（x）有两个零点，是真命题，∴p∨q是真命题，命题正确；
对于（3），∵f′（x）=-e^-x-e^x=-（

1

ex

+e^x）≤-2，∴函数f（x）切线斜率的最大值为-2，∴命题错误；
对于（4），当x₀=

3	2

是无理数时，

x

2 0

=

3	4

是无理数，∴命题正确；
综上，以上正确的命题是（2）、（4）．
故答案为：（2）、（4）．

点评：本题考查了集合与复数的应用，复合命题的应用，利用导数求切线的斜率等问题，是综合题．