Question

已知函数f（x）=-x²+2ax+3，x∈[-2，4]
（1）求函数f（x）的最大值关于a的解析式y=g（a）
（2）画出y=g（a）的草图，并求函数y=g（a）的最小值．

Answer 1

考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）需要分类讨论，根据函数的单调性即可求出最大值得解析式．
（2）画出函数的图象，由图象可知最小值．

解答： 解（1）函数f（x）的对称轴为x=a，
①当a＜-2时，∵函数f（x）在[-2，4]上单调递减，
∴y=g（a）=f（-2）=-4a-1，
②当-2≤a≤4时，y=g（a）=f（a）=a²+3，
③当a＞4时，∵函数f（x）在[-2，4]上单调递增，
∴y=g（a）=f（4）=8a-13，
综上有y=g（a）=

-4a-1，a＜-2 a2+3，-2≤a≤4 8a-13，a＞4

，
（2）作出y=g（a）的草图如右，
观察知当a=1时y=g（a）有最小值4．

点评：本题主要考查和函数的解析式的求法和函数的图象的做法，属于基础题．