Question

设有4个数的数列为a₁，a₂，a₃，a₄，前3个数构成等比数列，其和为k，后三个数构成等差数列，其和为9，且公差非零，对于任意固定的k，若满足条件的数列的个数大于1，则k满足

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等比数列的前n项和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：利用等差数列、等比数列的性质，可得方程a₂²+3a₂+9-3k=0，由此，即可得出结论．

解答： 解：由题意，a₂+a₄=2a₃，a₂+a₃+a₄=9
∴3a₃=9，
∴a₃=3，a₂≠3，
∵a₁+a₂+a₃=k，a₁a₃=a₂²，
∴a₁+a₂=k-3，3a₁=a₂²，
∴a₂²+3a₂+9-3k=0，
∴（a₂+

3

2

）²=3k-

27

4

∴3k-

27

4

≥0，且解不能是3，
解得k≥

9

4

且k≠9．
故答案为：k≥

9

4

且k≠9．

点评：本题考查等差数列、等比数列性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．