Question

已知不等式组

y≤x y≥-x x≤a

表示的平面区域S的面积为4，若点P（x，y）∈S，则z=3x+y的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABO及其内部，根据三角形面积公式建立关于a的方程，解得a=2．再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=2时，z=3x+y取得最大值为8．

解答： 解：根据题意，可得a是一个正数，由此作出不等式组

y≤x y≥-x x≤a

表示的平面区域，
得到如图的△ABO及其内部，其中A（a，a），B（a，-a），O（0，0）
∴平面区域的面积S=

1

2

×2a×a=4，解之得a=2（舍负）．
设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z_最大值=F（2，2）=3×2+2=8，
故答案为：8．

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．