Question

设C₁ 是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0），C₂是以直线2x-

3

y=0与2x+

3

y=0为渐近线，以（0，

7

）为一个焦点的双曲线．
（Ⅰ） 求双曲线C₂的标准方程；
（Ⅱ） 若C₁与C₂在第一象限内有两个公共点A和B，求p的取值范围，并求

FA

•

FB

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用待定系数法，结合₂是以直线2x-

3

y=0与2x+

3

y=0为渐近线，以（0，

7

）为一个焦点的双曲线，求出几何量，即可求双曲线C₂的标准方程；
（Ⅱ）将y²=2px（p＞0）代入到

y2

4

-

x2

3

=1中并整理，确定p的范围，再利用向量的数量积公式，结合韦达定理，即可求

FA

•

FB

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设双曲线C₂的标准方程为：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则据题得：

a b = 2 3 c= 7

又a²+b²=c²，
∴a=2，b=

3

，
∴双曲线C₂的标准方程为：

y2

4

-

x2

3

=1                …（4分）
（Ⅱ）将y²=2px（p＞0）代入到

y2

4

-

x2

3

=1中并整理得：2x²-3px+6=0．…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0），则x₁+x₂=

3p

2

＞0，x₁x₂=3，
∵△=9p²-4×2×6＞0，
∴p＞

4 3

3

．
又F（

p

2

，0），
∴

FA

•

FB

=（x₁-

p

2

）（x₂-

p

2

）+y₁y₂=x₁x₂-

p

2

（x₁+x₂）+

p2

4

+2p

x1x2

=-

1

2

p²+2

3

p+3=-

1

2

．(p-2

3

)2+9≤9…（10分）
∴当且仅当p=2

3

时，

FA

•

FB

的最大值为9．…（12分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．