Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=4，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点．
（1）求证：PA∥平面EFG
（2）求三棱锥P-EFG的体积
（3）求点P到平面EFG的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据面面平行的性质推出线面平行；
（2）利用等积法V_P-EFG=V_G-PEF进行求解即可．
（3）先作出点P到平面EFG的距离，利用直角三角形知识求解即可．

解答： 证明：（1）∵E、G分别是PC、BC的中点
∴EG是△PBC的中位线
∴EG∥PB
又∵PB?平面PAB，EG?平面PAB
∴EG∥平面PAB
∵E、F分别是PC、PD的中点
∴EF∥CD
又∵底面ABCD为正方形
∴CD∥AB
∴EF∥AB
又∵AB?平面PAB，EF?平面PAB
∴EF∥平面PAB
又EF∩EG=E
∴平面EFG∥平面PAB
∵PA?平面PAB
∴PA∥平面EFG
（2）∵底面ABCD为正方形
∴GC⊥CD
∵PD⊥平面ABCD
∴GC⊥PD
又∵CD∩PD=D
∴GC⊥平面PCD
∴GC为三棱锥G-PEF的高
∵PD=AB=4
∴S△PEF=

1

4

S△PCD=

1

4

•

1

2

•PD•CD=2
GC=

1

2

BC=2
∴V_P-EFG=V_G-PEF=

1

3

×2×2=

4

3

（3）取AD的中点M．连接MF并延长，过P作PN⊥MF=N．
∵EF⊥PD，EF⊥AD，PD∩AD=D
∴EF⊥平面PDA，
∵PN?平面PDA，
∴EF⊥PN，
又∵PN⊥MN，MN∩EF=F
∴PN⊥平面FEMG
即PN是点P到平面EFG的距离，
在△PNF中，PF=2，∠PFN=45°
∴PN=

2

即点P到平面EFG的距离为

2

．

点评：本题主要考察了面面平行的判定定理的应用，线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，线面 垂直的判定定理的应用，及利用换顶点求解三棱锥的体积等知识的综合应用，此类试题也是立体几何的重点考察的试题类型