Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，右焦点到直线l：3x+4y=0的距离为

3

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线m：y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求当△AOB面积最大时，
直线m的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆的右焦点到直线l：3x+4y=0的距离为

3

5

，求出c，利用椭圆的离心率为

1

2

，求出a，利用b²=a²-c²，求出b，即可得出椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线m：y=kx+1代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理，计算设出|AB|，求出O到直线的距离，可得△AOB面积，利用基本不等式求出最大值，即可求直线m的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵右焦点到直线l：3x+4y=0的距离为

3

5

，
∴

3c

5

=

3

5

，
∴c=1，
∵椭圆的离心率为

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）直线m：y=kx+1代入椭圆方程，消去y，可得（3+4k²）x²+8kx-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8k

3+4k2

，x₁x₂=-

8

3+4k2

∴|x₁-x₂|=

(- 8k 3+4k2 )2-4•(- 8 3+4k2 )

∴|AB|=4

6

1+k2

2k2+1

3+4k2

，
∵O到直线的距离为d=

1

1+k2

，
∴S△AOB=2

6

1

2 2k2+1 + 1 2k2+1

≤2

6

•

1

2 2

=

3

，当k=0时有最大值．
∴直线m的方程为：y=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．