Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0），其中x₁为正实数，n∈N^*．
（1）用x_n表示x_n+1；
（2）若x₁=4，记an=lg

xn+2

xn-2

(n∈N*)，试判断数列{a_n}是否是等比数列，若是求出其公比；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，设bn=

(2n+5)lg3

2(2n+1)(2n+3)an

，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：

7

30

≤Sn＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（1）利用导数的几何意义可求出切线的斜率，从而得到切线方程．将y=0代入方程即可得出x_n与x_n+1的关系；
（2）利用等比数列的定义即可判断该数列是等比数列，并可求出公比；
（3）先化简b_n，然后利用分组求和法求出S_n，再利用指数函数的性质解不等式即可．

解答： 解：（1）由题可得f'（x）=2x，
∴曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线方程是
y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-(xn2-4)=2xn(x-xn)，
令y=0，
得-(xn2-4)=2xn(xn+1-xn)，
即xn2+4=2xnxn+1，
显然x_n≠0，
∴xn+1=

2xn2+4

xn

．
（2）数列{a_n}是等比数列，证明如下：
由xn+1=

2xn2+4

xn

，an=lg

xn+2

xn-2

得
an+1=lg

xn+1+2

xn+1-2

=lg

xn2+4 2xn +2

xn2+4 2xn -2

=lg

(xn+2)2

(xn-2)2

=lg(

xn+2

xn-2

)2=2lg

xn+2

xn-2

=2an，
∴

an+1

an

=2，
∴数列{a_n}成等比数列，公比为2．                              
（3）∵x₁=4，
∴a1=lg

x1+4

x1-4

=lg3，
由（2）得an=a1•2n-1=2n-1lg3，
∴bn=

(2n+5)lg3

2(2n+1)(2n+3)•an

=

2n+5

(2n+1)(2n+3)

•

1

2n

=(

2

2n+1

-

1

2n+3

)•

1

2n

=

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=(

1

3

-

1

5•2

)+(

1

5•2

-

1

7•22

)+…+[

1

(2n+1)2n-1

-

1

(2n+3)2n

]
=

1

3

-

1

(2n+3)2n

，
故数列{b_n}的前n项和Sn=

1

3

-

1

(2n+3)2n

，
∵

1

(2n+3)•2n

＞0，
∴Sn＜

1

3

，
又∵

1

(2n+3)•2n

单调递增，
∴Sn=

1

3

-

1

(2n+3)•2n

单调递减，
∴当n=1时，S_n的最小值为

7

30

，
∴

7

30

＜Sn＜

1

3

．

点评：本题考查等比数列的相关知识以及导数的几何意义，函数单调性，数列求和，不等式等知识的综合应用．属于难题．