Question

下列函数中，既是奇函数又在其定义域内是增函数的是（　　）

• A、f（x）=cosx
• B、f（x）=sinx+x
• C、f（x）=x²+1
• D、f（x）=x³-3x

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性与单调性的定义，逐一判定A、B、C、D中的函数是否满足条件．

解答： 解：对于A，f（x）=cosx是定义域上的偶函数，∴不满足条件；
对于B，∵f（x）=sinx+x，∴f（-x）=sin（-x）+（-x）=-（sinx+x）=-f（x），∴f（x）是奇函数，
又f′（x）=cosx+1≥0，∴f（x）是定义域上的增函数，∴满足条件；
对于C，f（x）=x²+1是定义域上的偶函数，∴不满足条件；
对于D，∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x=±1，
∴f（x）在其定义域内不是单调函数，∴不满足条件．
故选：B．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定问题，解题时应根据函数的奇偶性与单调性的定义，判定选项中的函数是否满足题意，是基础题．