Question

已知向量

a

=（sin2x，-

1

2

），

b

=（

3

2

，cos2x），x∈R，设函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用向量的坐标表示出f（x）的解析式，利用两角和公式对函数解析式化简整理，最后利用周期公式求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）根据x的范围确定2x-

π

6

的范围，然后根据三角函数的性质求得函数的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值分别是-

1

2

，1．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质，考查了学生对基础知识的掌握程度．