Question

17．设函数f（x）=lnx-x²+x．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（I）因为f（x）=lnx-x²+x其中x＞0，
所以f'（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．
（II）由（I）f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．