题目内容

5．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率．

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图计算平均数与中位数即可；
（Ⅱ）写出利润函数T（x），利用函数求利润T不少于57万元的x取值，
计算对应的频率值即为概率估计值．

解答 解：（Ⅰ）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为
$\overline x=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15=126.5$（吨）；…（2分）
由频率分布直方图易知，由于x∈[100，120）时，对应的频率为
（0.01+0.02）×10=0.3＜0.5，
而x∈[100，130）时，对应的频率为
（0.01+0.02+0.3）×10=0.6＞0.5，
因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间[120，130），…（3分）
于是估计中位数应为120+（0.5-0.1-0.2）÷0.03≈126.7（吨）；…（5分）
（Ⅱ）当x∈[100，130）时，T=0.5x-0.3（130-x）=0.8x-39；…（6分）
当x∈[130，150]时，T=0.5×130=65，…（8分）
所以，T=$\left\{\begin{array}{l}{0.8x-39，100≤x＜130}\\{65，130≤x≤150}\end{array}\right.$，…（9分）
根据频率分布直方图以及（Ⅰ）知，
当x∈[100，130）时，由T=0.8x-39≥57，解得120≤x＜130，…（10分）
当x∈[130，150]时，由T=65≥57，
所以，利润T不少于57万元当且仅当120≤x≤150，…（11分）
于是由频率分布直方图可知市场需求x∈[120，150]的频率为
（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57万元的概率估计值为0.7…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图以及平均数、中位数的计算问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，是中档题．

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