Question

在△ABC中，猜想T=sinA+sinB+sinC的最大值，并证明．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：根据f（x）在（0，兀）内是上凸型函数，再根据

1

3

[f（A）+f（B）+f（C）]≤f（

A+B+C

3

）求解问题．

解答： 解：当A=B=C=

π

3

 时，T=sinA+sinB+sinC=

3 3

2

，猜想：T=sinA+sinB+sinC的最大值为

3 3

2

．
证明：构造f（x）=sinx，显然，f（x）在（0，兀）内是上凸型的函数．
故由基本不等式得：

1

3

×[f（A）+f（B）+f（C）]≤f（

A+B+C

3

），
即：

1

3

×（sinA+sinB+sinC）≤sin

A+B+C

3

，即sinA+sinB+sinC≤3sin

A+B+C

3

，
∴sinA+sinB+sinC≤

3 3

2

，即 T=sinA+sinB+sinC的最大值为

3 3

2

．

点评：本题主要考查函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．