Question

已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6）．
（1）求∠A的平分线所在直线的方程；
（2）若直线kx-y-2k-1=0与△ABC的边AB，AC相交，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的平行关系

专题：直线与圆

分析：（1）由已知条件利用两点式方程分别求出直线AB、直线线AC和直线BC的方程，设∠A的平分线与直线BC交于点P（a，b），则|PA|=|PB|，且P（a，b）在直线BC：5x+y-21=0上，由此列出方程组能求出P点坐标，由此能求出∠A的平分线所在直线方程；
（2）由直线kx-y-2k-1=0与△ABC的边AB，AC相交，得到k≠kAB=-

1

3

，且k≠k_AC=2，由此能求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），
∴直线AB的方程为：

y-2

x-1

=

1-2

4-1

，整理，得x+3y-7=0，
直线AC的方程为：

y-2

x-1

=

6-2

3-1

，整理，得2x-y=0，
直线BC的方程为：

y-1

x-4

=

6-1

3-4

，整理，得5x+y-21=0，
设∠A的平分线与直线BC交于点P（a，b），则|PA|=|PB|，
∴

|a+3b-7|

1+9

=

|2a-b|

4+1

，
整理，得a²-b²-2ab+2a+6b-7=0，①
又∵P（a，b）在直线BC：5x+y-21=0上，
∴5a+b-21=0，②
由①②联立，解得

a=5- 2 b=5 2 -4

或

a=5+ 2 b=-5 2 -4

（舍），
∴∠A的平分线过点A（1，2），P（5-

2

，5

2

-4），
∴∠A的平分线所在直线方程为：

y-2

x-1

=

5 2 -4-2

5- 2 -1

，
整理，得（5

2

-6）x-（4-

2

）y+14-7

2

=0．
（2）∵直线kx-y-2k-1=0与△ABC的边AB，AC相交，
∴k≠kAB=-

1

3

，且k≠k_AC=2，
∴k的取值范围是（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，2）∪（2，+∞）．

点评：本题考查角的平分线所在直线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意直线方程、点到直线距离公式、直线的位置关系等知识点的合理运用．