Question

已知x=2是函数f（x）=mx³+nx²（m≠0）的一个极值点
（1）用含m的代数式表示n．
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求f′（x）=3mx²+2nx，根据函数在极值点处的导数为0可得：12m+4n=0，所以n=-3m；
（2）f′（x）=3mx²-6mx，要判断f′（x）的符号，所以令f′（x）=0即可得到x=0，或2，这样讨论m＞0，m＜0两种情况，从而判断二次函数f′（x）在区间（-∞，0），（2，+∞），（0，2）上的符号从而找出f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）f′（x）=3mx²+2nx；
∵x=2是f（x）的一个极值点；
∴12m+4n=0；
∴n=-3m；
（2）f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx；
令f′（x）=0得x=0，或2；
①若m＞0，则x∈（-∞，0），和（2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（0，2）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递增，这两个区间是f（x）的单调增区间；
f（x）在[0，2]上单调递减，该区间是f（x）的单调递减区间；
②若m＜0，则x∈（-∞，0），和（2，+∞）时，f′（x）＜0；x∈（0，2）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，这两个区间是f（x）的单调递减区间；
f（x）在[0，2]上单调递增，该区间是f（x）的单调递增区间．

点评：考查函数极值点的定义，函数在极值点处导数的情况，以及通过判断函数导数符号，从而判断函数单调性，找单调区间的方法．