Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁、F₂．若椭圆上存在点P，使得|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|成立，则

b

a

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|平方，得到关于m，n和c的关系式，从而求

b

a

的取值范围．

解答： 解：设|

PF1

|=m，|

PF2

|=n，椭圆的长轴长为2a，∠F₁PF₂=θ
由|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|，
得：m²+n²+2mncosθ=4c²，2mncosθ=4c²-m²-n²；
又在△F₁PF₂中，由余弦定理得，
2mncosθ=m²+n²-4c²，
∴m²+n²-4c²=0
∴（m+n）²-2mn-4c²=0，
即2b²=mn，
又mn≤(

m+n

2

)2=a²，
∴

b2

a2

≤

1

2

，
∴

b

a

≤

2

2

，
又

b

a

＞0，
∴0＜

b

a

≤

2

2

．
故答案为：（0，

2

2

]．

点评：本题主要考查椭圆的定义和离心率，与余弦定理结合运用．