Question

已知函数f（x）=x²+a|x-1|，a为常数．
（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数求最值；
（2）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数的单调性，使函数在两段上都递增，且x≥1时的最小值大于x≤1时的最大值．

解答： 解：（1）当a=2时，f(x)=x2+2|x-1|=

x2+2x-2，x≥1 x2-2x+2，x＜1

=

(x+1)2-3，x≥1 (x-1)2+1，x＜1

所以当x∈[1，2]时，[f（x）]_max=6，[f（x）]_min=1
当x∈[0，1]时，[f（x）]_max=2，[f（x）]_min=1
所以f（x）在[0，2]上的最大值为6，最小值为1．            
（2）因为f(x)=

x2+ax-a，x≥1 x2-ax+a，x＜1

=

(x+ a 2 )2- a2 4 -a，x≥1 (x- a 2 )2- a2 4 +a，x＜1

而f（x）在[0，+∞）上单调递增
所以当x≥1时，f（x）必单调递增，得-

a

2

≤1即a≥-2
当0≤x＜1时，f（x）亦必单调递增，得

a

2

≤0即a≤0
且1¹+a-a≥1¹-a+a恒成立，
故所求实数a的取值范围为[-2，0]．

点评：本题主要考查函数的性质，特别是二次函数的单调性与求最值的方法，研究分段函数时要两段上统筹兼顾，属于中档题．