Question

已知函数f（x）=（2

3

tan2x+1）cos2x+1-2sin²x，x∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）求f（x）在[0，

π

2

]的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）-m≥0对于任意x∈[0，

π

2

]恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用三角函数的图象和性质求得其单调区间．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）中的解析式，根据x的范围求得函数的最小值，进而根据不等式恒成立，求得m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（2

3

tan2x+1）cos2x+1-2sin²x
=2

3

six2x+cos2x+cos2x
=2

3

sin2x+2cos2x
=4sin（2x+

π

6

），
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∵当

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

时，即0≤x≤

π

6

时，函数单调增，
∴函数的递增区间为[0，

π

6

]．
∵当

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，即

π

6

≤x≤

π

2

，函数单调减，
∴递减区间为[

π

6

，

π

2

]．
综上，f（x）在[0，

π

2

]的递增区间为[0，

π

6

]，递减区间为[

π

6

，

π

2

]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数在区间[0，

π

2

]，f（x）_min=4sin

7π

6

=-4sin

π

6

=-2，
∵f（x）-m≥0恒成立，
∴f（x）≥m恒成立，
∴m≤-2，所以实数m的最大值为-2．

点评：本小题主要考查三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．