Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两圆C₁：x²+y²-2

3

y+2=0与C₂：x²+y²+2

3

y-3=0的圆心的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．问k为何值时

OA

⊥

OB

？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的定义即可求出对应的方程．
（2）利用直线和椭圆的位置关系，将条件转换为一元二次函数即可得到结论．

解答： 解：（1）由已知得两圆的圆心坐标分别为C₁：（0，

3

），C₂：（0，-

3

），
设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以C₁（0，

3

），C₂（0，-

3

）为焦点，长半轴长为2的椭圆．     
它的短半轴长b=

22-( 3 )2

=1，
故曲线C的方程为x²+

y2

4

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线y=kx+1代入x²+

y2

4

=1，
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
∵k²+4≠0，△=4k²+12（k²+4）=16（k²+3）＞0，
∴x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

．
又y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
若

OA

⊥

OB

，
则x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=

-4k2+1

k2+4

=0
即-4k²+1=0，
解得k=±

1

2

．

点评：本题考查椭圆的定义和方程的求法，以及直线和椭圆的位置关系的应用，综合性较强，运算量较大．