Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，且q＜0，其中a₁，3a₃，a₂成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，求使S_n＞0成立的最大正整数n．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₁，3a₃，a₂成等差数列知6a₃=a₁+a₂，即6a₁q²=a₁+a₁q，解方程可求q；
（Ⅱ）利用等差数列的求和公式可求S_n，令S_n＞0可求n的范围，结合n∈N^*，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由a₁，3a₃，a₂成等差数列知6a₃=a₁+a₂，
即6a₁q²=a₁+a₁q，
所以6q²-q-1=0，
因为q＜0，
所以q=-

1

3

；
（Ⅱ）S_n=2n+

n(n-1)

2

•(-

1

3

)=

-n2+13n

6

，
所以-n²+13n＞0，解得0＜n＜13，
所以满足条件的最大值为n=12．

点评：本题主要考查了等差数列的性质，考查等差数列与等比数列的综合应用，等差数列的求和公式的应用．