Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-2y+3

5

=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足

ON

=

3

3

OA

+（1-

3

3

）

OM

，设动点N的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程，
（Ⅱ）直线l与直线l₁垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：综合题

分析：（Ⅰ）A（x₀，y₀），先求出圆C₁的方程，再根据动点N满足

ON

+（1-

3

3

）

OM

，得到关于x₀，y₀的方程组，解得即可．
（Ⅱ）设直线l与椭圆

x2

9

+

y2

3

=1交于B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立方程组求出x₁，x₂，再根据点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x₀，y₀），因为AM⊥x轴于M，所以M（x₀，0），
设圆C₁的方程为x²+y²=r²，由题意得r=

|3 5 |

1+4

=3，所以圆C₁的程为x²+y²=9．
由题意，

ON

=

3

3

OA

+(1-

3

3

)

OM

，所以(x，y)=

3

3

(x0，y0)+(1-

3

3

)(x0，0)，
所以

x=x0 y= 3 3 y0

即

x0=x y0= 3 y.

将A(x，

3

y)代入圆x²+y²=9，得动点N的轨迹方程

x2

9

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由题意可设直线l：2x+y+m=0，设直线l与椭圆

x2

9

+

y2

3

=1交于B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立方程

y=-2x-m x2+3y2=9

得13x²+12mx+3m²-9=0，△=144m²-13×4（3m²-9）＞0，解得m²＜39，x1，2=

-12m± 468-12m2

26

=

-6m± 117-3m2

13

，
又因为点O到直线l的距离d=

|m|

5

，BD=

5

•|x1-x2|=

5

•

2 117-3m2

13

，S△OBD=

1

2

•

|m|

5

•

5

2 117-3m2

13

=

m2(117-3m2)

13

=

3m2(39-m2)

13

≤

3 3

2

．（当且仅当m²=39-m²即 m2=

39

2

时取到最大值）
∴△OBD面积的最大值为

3 3

2

．

点评：本题考查了向量，圆的方程，椭圆的方程，点到直线的距离，基本不等式，是一道综合题，难度有些大，需要认真仔细．